01:20 Геометрия Римана | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Не следует путать с Римановой геометрией. Для термина «Риман» см. также другие значения. Геометрия Римана (Эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т. е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.). В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула Σ = π + S / R 2 , {\displaystyle \Sigma =\pi +{S}/{R^{2}},} где Σ {\displaystyle \Sigma } — сумма углов треугольника, R {\displaystyle R} — радиус сферы, на которой реализована геометрия. Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Именно, рассмотрим сферу S {\displaystyle S} с центром в точке O {\displaystyle O} в трёхмерном пространстве E {\displaystyle E} . Каждая точка A ∈ S {\displaystyle A\in S} вместе с центром сферы O {\displaystyle O} определяет некоторую прямую l ⊂ E {\displaystyle l\subset E} , т. е. некоторую точку A ∗ {\displaystyle A_{*}} проективной плоскости Π {\displaystyle \Pi } . Сопоставление A → A ∗ {\displaystyle A\to A_{*}} определяет отображение S → Π {\displaystyle S\to \Pi } , большие круги на S {\displaystyle S} (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости Π {\displaystyle \Pi } , при этом в одну точку A ∗ ∈ Π {\displaystyle A_{*}\in \Pi } переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой A ∈ S {\displaystyle A\in S} и диаметрально противоположная ей точка A ′ ∈ S {\displaystyle A'\in S} (см. рисунок). Евклидовы движения пространства E {\displaystyle E} , переводящие сферу S {\displaystyle S} в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости Π {\displaystyle \Pi } , которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых. Геометрия Римана не является абсолютной геометрией. В частности, в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости Π {\displaystyle \Pi } отображается большой круг на сфере S {\displaystyle S} , причём две диаметрально противоположные точки сферы A {\displaystyle A} и A ′ {\displaystyle A'} переходят в одну точку A ∗ ∈ Π {\displaystyle A_{*}\in \Pi } . Аналогично, точки B , B ′ {\displaystyle B,B'} переходят в одну точку B ∗ ∈ Π {\displaystyle B_{*}\in \Pi } и точки C , C ′ {\displaystyle C,C'} переходят в одну точку C ∗ ∈ Π {\displaystyle C_{*}\in \Pi } . Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка C ∗ {\displaystyle C_{*}} лежит между A ∗ {\displaystyle A_{*}} и B ∗ {\displaystyle B_{*}} и что она не лежит между ними (см. рисунок). Литература[править | править вики-текст] Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2. Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146. Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Геометрия_Римана&oldid=82318695» Категория: Неевклидова геометрияСкрытая категория: Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |